Le secret de Tartaglia
Bonjour les étudiant(e)s ! Dans notre dernier article, on a fait un petit arrêt à Bagdad pour connaître Al-Khwarizmi, un mathématicien très doué qui a découvert une formule pour résoudre les équations du deuxième degré. Aujourd’hui, on va continuer avec les équations, mais cette fois on va oser celles du troisième degré ! Pour cela, on voyagera en Italie à la Renaissance pour vous présenter Niccolò Fontana. Né à Brescia (nord de l’Italie) en 1499, il a été mathématicien et ingénieur et il est entré dans l’histoire sous le pseudonyme “Tartaglia”. La raison de ce surnom est le bégaiement (en italien, “tartagliare”) dont il a souffert en conséquence de la plaie à l’arme blanche causée par un soldat français dans la cathédrale de Brescia, pendant le massacre de la ville. Malheureusement, son père est mort dans cette tuerie, laissant sa famille dans la pauvreté. En raison de cela, il n’a appris à écrire qu’à l’âge de 14 ans, et il a été un étudiant autodidacte pendant toute sa vie. C’est grâce à sa notable aptitude pour les mathématiques qu’il est arrivé à gagner sa vie comme professeur de cette matière à Vérone. C’est vraiment admirable, n’est pas ?
Mais, qu’est qui a fait de Tartaglia un mathématicien si célèbre? On pourrait dire que son travail le plus significatif a été la découverte d’une manière de résoudre des équations du troisième degré. Cette histoire n’est pas libre de trahisons et d’intrigues, étant un reflet du climat de l’époque. Vous voulez la connaître ? On ne vous fera pas plus attendre !
Pendant l’année 1534, Tartaglia a déménagé à Venecia, où le mathématicien Antonio Maria Fiore lui lance le défi suivant en 1535 : chacun d’entre eux devait déposer une certaine quantité de monnaie face au notaire et puis proposer à son opposant trente problèmes avec des équations du troisième degré de la forme x3 + mx = n ou x3 = mx + n avec m > 0 et n > 0. Finalement, Tartaglia en est sorti victorieux, en résolvant les 30 problèmes que Fiore lui avait proposés et gardant le secret de sa méthode.
Ce fait a attiré l’attention de Gerolamo Cardano, un mathématicien et médecin originaire de Milan qui possédait une très bonne réputation à l’époque. Comme il était très intéressé par la procédure utilisée par Tartaglia, il a voyagé à Venecia pour le connaître et lui offrir l’accord suivant : la méthode de résolution des équations en échange d’une recommandation auprès du gouverneur de Milan. Tartaglia voit cette offre comme une opportunité de prospérer et, après beaucoup de persuasion, il confie sa formule à Cardano sous la forme d’un poème, au cas où celle-ci arriverait à quelqu’un d’autre. Attention ! La procédure de Tartaglia va être dévoilée…
Il a considéré l’équation générale du troisième degré x3 + ax2 + bx + c = 0 et, en utilisant la substitution x = y – a / 3 , il est arrivé à (y – a/3 ) 3 + a(y-a/3)2 + b(y – a/3) + c = 0 ↔︎ y3 + py =q , où p et q sont les nouveaux coefficients de l’équation obtenue en développant la première expression. Donc le problème se réduit à la résolution de cette équation incomplète. En la comparant avec l’identité de la différence des cubes u3 – v3 = 3uv (u-v) + (u-v)3 , Tartaglia conclut qu’il faut trouver u et v tels que 3uv = p et q = u3 – v3, et donc y = u-v sera la solution de notre équation. Ainsi, on est arrivés à un système de deux équations avec deux inconnues. Si on le résout on arrive aux valeurs
Finalement, le nombre
est la solution de notre équation initiale. C’est compliqué non ? Trop de calculs, mais comme ça vous arriverez à comprendre le génie de Tartaglia…
Cependant, ce qui est le plus dérangeant, c’est que ces formules sont entrées dans l’Histoire sous le nom de Formule de Cardano, après que Girolamo Cardano ait publié la formule secrète de Tartaglia dans son livre Ars Magna! Oh là, là… Monsieur Tartaglia, vous n’auriez dû confier votre formule à personne ! Il s’est beaucoup fâché quand il a découvert que le mathématicien milanais s’était approprié sa précieuse formule. Afin de démontrer que c’était lui qui avait réussi à trouver la résolution des équations du troisième degré, il a publié son livre Nouveaux problèmes et inventions, où il expliquait sa méthode et racontait sa version de l’histoire. Mais, malheureusement pour lui, personne ne l’a cru. La faible position d’un professeur de Venecia n’avait rien à faire face à la bonne réputation que Cardano avait acquise comme mathématicien et médecin. Bon, c’est l’une des nombreuses injustices de l’histoire des mathématiques. Pourtant, chez Graine de Génie, nous apportons notre pierre à l’édifice pour rendre hommage aux grands génies scientifiques de l’histoire et en faisant connaître leur histoire et leurs découvertes.
Finalement, on vous attend la semaine prochaine pour continuer à vous dévoiler la beauté des mathématiques… J’espère que vous avez bien aimé cet article et que vous ne manquerez pas les suivants ! À bientôt !