LES MATHÉMATIQUES NE SERONT JAMAIS COMPLÈTES
Oui, vous avez bien lu. Il est vraiment impossible de compléter les mathématiques.
Bonjour, les étudiant(e)s ! Soyez à nouveau les bienvenu(e)s sur votre site de soutien scolaire préféré : Graine de Génie. Aujourd’hui, on va parler de l’un des plus grands mystères des mathématiques : ce que l’on appelle les indécidables mathématiques. On va également parler de son créateur : Gödel. Êtes-vous prêt(e)s ?
La confiance dans les mathématiques avant l’année 1931
En 1900 a eu lieu le Deuxième Congrès International des Mathématiciens à Paris, où le mathématicien David Hilbert a présenté ce que l’on appelle les problèmes d’Hilbert. Ce sont 23 problèmes mathématiques qui n’avaient pas encore été résolus. De nos jours, la majorité de ces problèmes a été résolue ; quelques-uns sont considérés justes même s’ils n’ont pas encore été démontrés et quatre problèmes n’ont pas encore été résolus. Parmi ces quatre problèmes se trouve l’une des questions les plus connues de l’Histoire des mathématiques : l’hypothèse de Riemann.
L’idée du congrès était de les présenter mais de les résoudre au siècle prochain. Jusqu’à maintenant, on pourrait dire que la tâche a bien été réalisée, même s’il y a encore quelques problèmes sans solution.
Le vrai problème a commencé quand, en 1931, le château des mathématiques a vécu l’un des plus grands séismes : Gödel a démontré qu’il existe des énoncés mathématiques impossibles à démontrer et que l’on ne saura jamais s’ils sont vrais ou faux.
Gödel et ses contributions polémiques : les indécidables
Né en 1906 dans l’actuelle République Tchèque – à ce moment-là l’Empire Austro-Hongrois – il vivait dans une famille cultivée. Son père était homme d’affaires et sa mère était éduquée et cultivée et était toujours proche de Gödel ; on peut le savoir grâce à la correspondance qu’ils entretenaient. Il a changé de nationalité plusieurs fois à cause des deux Guerres Mondiales. Après la Première Guerre mondiale, il est devenu tchèque, et pendant la Deuxième, il est devenu allemand. Après, il est parti aux États-Unis et il est finalement devenu américain. C’est à ce moment-là qu’il a connu le célèbre physicien Albert Einstein et qu’ils sont devenus amis proches.
Tout comme d’autres mathématiciens importants de l’époque : Bertrand Russell, Whitehead ou encore Hilbert, Gödel se considère comme le logicien le plus compétent du siècle dernier et, en fait, de toute l’Histoire. 31 années après le Deuxième Congrès International des Mathématiciens, il a publié son travail sur les théorèmes d’incomplétude. Ce qui a fait trembler le monde des mathématiques.
Plusieurs mathématiciens ont été contre les résultats de Gödel, même s’ils étaient bien démontrés. La communauté mathématique avait peur de ne jamais pouvoir voir les problèmes d’Hilbert correctement démontrés. Et, en fait, c’est possible que l’un d’eux soit un indécidable : une question mathématique impossible à démontrer parmi les axiomes qui forment les maths.
C’est-à-dire qu’il y aura toujours des affirmations et des énoncés que l’on ne saura jamais s’ils sont vrais ou faux, on ne pourra jamais ni les démontrer ni les réfuter.
De nos jours, tous les mathématiciens acceptent les deux théorèmes de Gödel qui démontrent cette catastrophe. Plusieurs pensent que les questions les plus difficiles et que l’on n’a pas encore résolues, comme l’hypothèse de Riemann ou la conjecture de Goldbach, sont des indécidables mathématiques.
Les deux théorèmes de Gödel : l’essence de la catastrophe de l’incomplétude mathématique
Alors, on sait à peu près ce que sont les indécidables de Gödel. Mais, comment a-t-il énoncé ses résultats ?
On dit qu’une théorie est consistante si elle n’a pas de contradictions. En plus, une théorie est complète si l’on peut démontrer ou réfuter tous les énoncés à partir des axiomes de la théorie.
Puis, le théorème dit que si les maths n’ont aucune contradiction, alors, il existe toujours au moins un résultat dont on ne connaîtra jamais la réponse.
C’est-à-dire qu’il est impossible d’avoir une théorie qui soit elle-même consistante, sans contradictions. C’est pour ça, qu’il est vraiment possible que l’on finisse avec un résultat qui se contredit. Peut-être qu’un jour un mathématicien démontrera un résultat et un autre mathématicien démontrera tout le contraire.
Il existe plusieurs résultats qui sortent un peu de la compréhension générale des mathématiques et que finalement on a établi comme vrai, parce qu’on ne trouve pas de manière de les démontrer. C’est le cas de l’axiome d’élection ou de l’hypothèse du Continue. Mais, on parlera de ces deux résultats dans un autre article.
Et voilà, le grand mystère des mathématiques découvert par Kurt Gödel qui a fait trembler les meilleurs scientifiques du siècle dernier. Est-ce que tu crois que l’on démontrera un résultat et son contraire ? Si cela arrive, on devra écrire à nouveau toutes les mathématiques ! Mais, avant cela, continuez à étudier. Qui sait, le prochain Gödel se trouve peut-être parmi les étudiants(e)s qui lisent les articles de Graine de Génie ? À bientôt !